Аксиома и теорема

Аксиома о невозможности независимой от рынка прибыльной торговой системы.
      Суть аксиомы в ее названии — невозможно создать прибыльную торговую систему, которая никак не связана с какими-либо рыночными характеристиками, например, с ценами, объемами сделок, открытыми позициями и чем-либо еще. Прибылью в данном случае называем величину, являющейся добавленной к общерыночной прибыли актива, так как, существуют активы, генерирующие какие-то долгосрочные положительные приросты, например, долговые инструменты или некоторые фондовые индексы.
      Надеюсь это самоочевидное утверждение, хотя если его можно еще и как-то доказать (например, от противного), то такое превращение в теорему сильно добавит ей веса.
      Высокая абстрактность этой аксиомы на самом деле имеет очень важные практические следствия.
      Например, из нее напрямую следует теорема о независимости мат-ожидания фин-результата опционного портфеля от параметров рехеджирования, суть которой также в самом названии, а именно — для любого опционного портфеля совершенно неважно как вы будете его рехеджировать — мат-ожидание фин-результата остается одним и тем же.
Раз я обозвал это теоремой, значит ее можно доказать.
Доказательство:
Предположим у нас есть два одинаковых опционных портфеля совмещенных с разными по параметрам способами их рехеджирования. Пусть портфели А и B одинаковы в опционной части (совершенно неважно, какие конкретно), и пусть к портфелю А прицеплен рехеджирующий механизм с такими параметрами, что его итоговое P/L больше, чем итоговое P/L портфеля B. Теперь перевернем портфель В по знакам позиций и сделок и сложим полученное с портфелем А (другими словами сделаем вычитание портфеля В из портфеля А). В новом суммарном портфеле их опционные составляющие занулят друг друга, и в итоговом портфеле останутся только рехеджирующие механизмы А и В, причем у В с обратным относительно А знаком. А так, как изначально мы предположили, что мат-ожидание P/L от рехеджирования портфеля А было выше, чем мат-ожидание P/L от рехеджирования портфеля В, то итоговое мат-ожидание P/L такого портфеля будет положительным, а это противоречит аксиоме о невозможности независимой от рынка прибыльной торговой системы.
В обратном случае, когда рехеджирующий механизм у портфеля А менее эффективен, чем у портфеля В, нам нужно будет «перевернуть» знаки уже портфеля А, опять получим зануленные опционные составляющие и снова прибыльгую торговую систему с независимыми от рынка параметрами, что снова противоречит вышеописанной аксиоме.
Теорема доказана.

P.S. Очевидно, что если мат-ожидание фин-результата опционного портфеля и не зависит от параметров рехеджирования, то дисперсия распределения фин-результата зависит точно (пока, правда, не знаю как это доказать). За это мы и платим, когда увеличиваем частоту (уменьшаем шаг) рехеджирования, ведь «потери на трение» (комиссионные+проскальзывание) прямо пропорциональны этой частоте.






6 комментариев

avatar
Мелкие придирки:
"… то такое превращение в теорему сильно добавит ей веса."
аксиома имеет больший вес чем теорема.
"… Прибылью в данном случае называем величину, являющейся добавленной к общерыночной прибыли актива, так как, существуют активы..."
не только активы, но и конструкции, например, синтетическая облигация.
Ещё одно уточнение: покупать дороже чем купил — это торговая стратегия основанная на цене?
avatar
уточнения принимаются )
про пследнее не знаю, подумать надо, или прояснить подробнее…
avatar
уточнение к моему уточнению:
не «покупать» дороже чем купил, а «продавать» конечно же)))
хотя покупать дороже чем купил — это трендовая стратегия)
avatar
«продаем дороже, чем купили» — независимая от рынка стратегия
мат-ожидание фин-результата равно нулю )))
avatar
«для любого опционного портфеля совершенно неважно как вы будете его рехеджировать — мат-ожидание фин-результата остается одним и тем же.» — не совсем согласен, иначе бы gamma scalping не существовал бы, Илья Коровин свою вариацию данной стратегии называет «Прикрытый Интрадей» (берем стреддл и качаем его дельту скальпингом). Дугими словами: мы можем статистически лучше реализовать реальную волатильность базового актива против подразумеваемой, если будем смотреть в его стакан с лентой. Но это как бы ввод дополнительных переменных в модель, поэтому мой контр пример не совсем корректен, математически — вы правы.
avatar
да, если у нас есть вью на рынок, и оно окажется верным, мы можем подстроить наше рехеджирование под него и обыграть рынок

Добавить комментарий